ಅನುಗಮನ ವಿಧಾನದ ಕೆಲವೊಂದು ಕೊರತೆಗಳು : ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಟ್ಟು ಬೋಧಿಸುವುದರಲ್ಲಿನ ಆಪತ್ತುಗಳು

ಸಂರಚನಾ ಬೋಧನೆ ವಿಧಾನವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನುಗುರುತಿಸಿ ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಸೂಕ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸುತ್ತದೆ.ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಏನು ಅಪಾಯಗಳಿವೆ? ತಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ಸದರಿ ನಿಯಮವು ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿರುವ ಕಾರಣ, ರೂಪಿಸಿದ ನಿಯಮವು ಸತ್ಯವಾದುದು ಎಂಬ ಅನಿಸಿಕೆ  ಉಂಟಾಗುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರು ಏನೇನು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳ ಬೇಕು?

ಬಿ.ಎಡ್. ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ "ಗಣಿತಬೋಧನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು" ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಅನುಗಮನ ಮತ್ತು ನಿಗಮನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತಾರೆ.ನಾನು ಶಿಕ್ಷಕರ ಶಿಕ್ಷಕನಾಗಿದ್ದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನುಗಮನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಹಳ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಬೋಧಿಸಿದ್ದೇನೆ ಹಾಗೆಯೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕದ ಪಾಠಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ನೋಡಿದ್ದೇನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತನ್ಮೂಲಕ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನೂ ರೂಪಿಸಿಬಿಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಗಣಿತಬೋಧನೆಯ ಕಾಲದಲ್ಲಿ "ಅನುಗಮನ ಚಿಂತನವಿಧಾನವನ್ನು"ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಬನ್ನಿ ನೋಡೋಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಂಗಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತಾ ಬಂದು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೊರ ಹೊಮ್ಮುವ  ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ.ಗೊತ್ತಿರದ ಪ್ರಸಂಗಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿನೋಡಲು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ.ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎಡೆಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಶಿಕ್ಷಕನು ಘಾತಾಂಕ ನಿಯಮಗಳನ್ನು(Law of Indices) ಪಾಠಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆತ  ಮುಂದಿನ ( ಅಥವಾ ಅದೇ ತರಹದ ) ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಪದೇ ಪದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತಾನೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ,ಪಡೆದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಪ್ಪು ಹಲಗೆಯಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಕಲೆಹಾಕುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮಾಡಿ ಅದರ ಅಂತರ್ಗತ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ.

23 × 24 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 27 23+4

34 × 35 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 39 34+5

0.53 × 0.52 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 0.55 0.53+2

a4 × 2 a × a × a × a × a × a a6 a4+2

y5 × y2 y7

ಇದು ಈ ವಿಧಾನದ ತಿರುಳು. ಮೊದಲ ನೋಟಕ್ಕೆ ಇದು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮಾಡಲು ಬಲು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.ಕೆಲವೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಗಣಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿವರಿಸಿ ಹೇಳದೇ ಇದ್ದರೂ ಮಕ್ಕಳು ಆ ನಿಯಮವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿಬಿಡುತ್ತಾರೆ!

ನಾನು ಶಿಕ್ಷಕರ ಶಿಕ್ಷಕನಾಗಿದ್ದಾಗ ನನ್ನ ಗಮನವೆಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಎಷ್ಟು ವೈವಿಧ್ಯ ಪೂರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳುತ್ತಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು,ಸಿದ್ದಾಂತ ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಟು ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುತ್ತಾರೆ -ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತಿತ್ತು.ಮಕ್ಕಳು ಸಿದ್ದಾಂತ ರೂಪಿಸುವುದನ್ನು ನೋಡಿ ನನಗೆ ಬಹಳ ಸಂತೋಷವಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೂ ಒಂದು ಎಲ್ಲೆಕಟ್ಟು ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನೇ ನಾನು ಗಮನಿಸುವ ಗೋಜಿಗೇ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ.

ಒಂದಷ್ಟು ವರ್ಷ ಕಳೆದ ಮೇಲೆ ಈ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಆಲೋಚನೆ ಮಾಡಲು ಆರಂಭಿಸಿದ ಮೇಲೆ ನನ್ನ ಮನದಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹಗಳು ಮೂಡಲಾರಂಭಿಸಿದವು. ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಮಕ್ಕಳು ಸ್ವತಃ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿದ ನಿಯಮವೇ?ನಾವೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮಾಡಿದ ಮೇಲೆ ಅದಕ್ಕೊಂದು ಪುರಾವೆ ಬೇಡವೇ? ಇದೇ ಪುರಾವೆಯೇ? ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸದರಿ ವಿಚಾರದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ನಡೆಸಿದ ಚಿಂತನೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.          

ಅನುಗಮನ ಚಿಂತನ ಎಂದರೇನು?

ಅನುಗಮನ ಚಿಂತನ ಎಂಬುದು ನಾವು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿ ನಮಗರಿವಿಲ್ಲದೆಯೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ಹೋಗುವಂತಹ ಚಿಂತನೆಯೇ ಆದರೆಅದಕ್ಕೆ ಆ ಹೆಸರು ಕೊಟ್ಟಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಷ್ಟೇ. X ಅನ್ನುವ ದೇಶದಿಂದ ಬಂದನಾಲ್ಕು ಜನರನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.ಅವರಿಗೆ ಖಾರದ ಅಡುಗೆ ಎಂದರೆ ಬಲು ಪ್ರೀತಿ.ಸರಿ" X ಅನ್ನುವ ದೇಶದ ಜನರಿಗೆಲ್ಲ ಖಾರವಾದ ಅಡುಗೆ ಎಂದರೆ ಬಲು ಇಷ್ಟ" ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. Z ಎಂಬ ದೇಶದಿಂದ ಬಂದ ಐದು ಜನರನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅವರಿಗೆ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುವುದು ಬಲು ಇಷ್ಟ.ಆಯ್ತು"Z ದೇಶದ ಜನರಿಗೆಲ್ಲಾ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುವುದು ಬಲು ಇಷ್ಟ" ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.ಒಟ್ಟಾರೆ ನಾವು ಒಂದಷ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯಕ್ಕೆ ಬಂದುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೋ ಒಂದು ವಿಧಾನ ಸಾಲು ಸಾಲಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶ ನೀಡುತ್ತಾ ಬಂದರೆ ನಾವು ಅದು ಸದಾಕಾಲ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಸಂಗಗಳು ಕೂಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ ಬಂದರೆ ನಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಬಲ ಬರುತ್ತದೆ.

 

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾನವ ಮೆದುಳಿನ ಅಂತರ್ಗತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ನಾವು ಮಾಡುವ ಎಷ್ಟೋ ಕೆಲಸಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಕೆಲಸಮಾಡುತ್ತಿರುತ್ತದೆ  - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ
ಸಂಶೋಧನೆಯ ಬೇರು ಆಗಿ ಇಂತಹ ಚಿಂತನೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಿರುತ್ತದೆ.ಹಾಗೆಂದಾಕ್ಷಣ ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಮರ್ಶಾರಹಿತವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಮಾಡುವುದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಹಾನಿಕಾರಕವಾಗಬಹುದು. ಈ ಮಾತು ಎಲ್ಲಾ ವಲಯಗಳಿಗೆ ಅಂದರೆ ಅದು  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಡೀ ವಿಜ್ಞಾನವೇ ಇರಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಟ್ಟಾರೆ ಜೀವನವೇ ಇರಬಹುದು ಎಲ್ಲಾ ವಲಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸತ್ಯ. ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದೆಷ್ಟು ಸತ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು  ತೋರಿಸುವ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳು ಹೀಗಿವೆ.

ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು.
ಅದರ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ N ಬಿಂದುಗಳಿರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿರಿ.  ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು  ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ( ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳು  ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಯಾವ ಮೂರು ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ .) ಆಗ ವೃತ್ತವು ಎಷ್ಟುಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ?

(ಚಿತ್ರ 1)ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಜನರು 6 ಬಿಂದುಗಳಿದ್ದರೆ 32 ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಣೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬಲವಾಗಿ ನಂಬುತ್ತೇವೆ . ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಏನೆಂದರೆ  N ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಅದು 2n-1; ಆದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಊಹೆ . ನಾವೇನು ಮಾಡಿದೆವು?  ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದೆವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ನಿಜವಾಯಿತು ಮತ್ತು  ಎಲ್ಲಾ ಅಪರೀಕ್ಷಿತ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಇದೇ ರೀತಿ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾರಂಭಿಸಿದೆವು."ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ನೋಡಿದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ಅದು ನಿಜವಾಗಿದೆ" ಎಂದಷ್ಟೇ ಹೇಳದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮಾಡಲು ಯಾವುದೇ ತರ್ಕ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ನಾವು ಯಾವುದೋ ಸಿದ್ದಾಂತ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಅಂಥ ಯಾವ ಸಿದ್ದಾಂತವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿಲ್ಲ.

 

ಈ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಸರಿಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸ ಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಮುಂದುವರಿದು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿನ 6 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗ ಮಾಡಿ ನೋಡಿದರೆ ನಾವು ಭಾವಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 32 ಪ್ರದೇಶಗಳು ಉಂಟಾಗುವುದಿಲ್ಲ .ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ತಪ್ಪು ಎಂದಾಯಿತು..,

2 ಬಿಂದುಗಳು

2 ಪ್ರದೇಶಗಳು

4 ಬಿಂದುಗಳು

8 ಪ್ರದೇಶಗಳು

3 ಬಿಂದುಗಳು

4 ಪ್ರದೇಶಗಳು

5 ಬಿಂದುಗಳು

16 ಪ್ರದೇಶಗಳು

ಚಿತ್ರ 1. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಸರಣಿ ನಮ್ಮನ್ನು ತಪ್ಪು ದಾರಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಬಹುದು.

 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಜನರೇಟರ್

 ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ .

ಎಲ್ಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ  n ಗೆ n2 − n + 41 ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ಮತ್ತು ಬರುವ ಪುರಾವೆಯು ಅದನ್ನೇ ಸಮರ್ಥಿಸುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.  

n = 1 ಆದರೆ ಆಗ n2 − n + 41 = 4 is ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

y n = 2 ಆದರೆ ಆಗ n2 − n + 41 = 43 ಅವಿಭಾಜ್ಯ..

y n = 3 ಆದರೆ ಆಗ n2 − n + 41 = 47 ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಯಾರಾದರೂ ಈ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು n = 40 ತನಕ ಮುಂದುವರೆಸಿದರೆ ಸದರಿ ಅಭಿಪ್ರಾಯವು ತಪ್ಪು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ದೊರಕುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು  ಸುಲಭವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. , ಏಕೆಂದರೆ n = 41,ಆದಾಗ ಅಂದಾಗ ಸದರಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು  , n2 − n + 41 ಇದು 412  ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಲ್ಲ . ಆದ್ದರಿಂದ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳದ  ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ನಾವು  ಈಹೇಳಿಕೆಯು  ತಪ್ಪು ಎಂದು ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

 ಪ್ರತಿಉದಾಹರಣೆಯ  ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ಅನುಗಮನ ವಾದಗಳು ಸೂಚನಾ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ: ದೊರೆತ ಪುರಾವೆ ನಾವು ಬಂದ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಖಾತರಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೂ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ನಿರೀಕ್ಷಣೆ ಮಾಡುವುದಷ್ಟೇ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ.ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಮೂಲಕ ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸದರಿ ಅಭಿಪ್ರಾಯವು ಸೂಚಿಸುವಂಥ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ 'ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳದಂತಹ'ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಆ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ವನ್ನು ಅಲ್ಲಗಳೆಯಬಹುದು. ಅಂಥ ಒಂದೇ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸದರಿ  ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ನಾಶ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ

ಅಭಿಪ್ರಾಯಕ್ಕೆ ಹೀಗೆ 'ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ' ವರ್ತಿಸುವಂಥ  ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಉತ್ಪಾದಕ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ  n = 41 ಎಂಬುದು ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆ (ಓದುಗರು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾದಕ್ಕೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಪ್ರತಿಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನುಹುಡುಕಿ ಆನಂದಿಸ ಬಹುದು.)

 ಒಂದು ವೇಳೆ ಆ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಸತ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟರೆ?

ಒಂದು ವೇಳೆ ಆ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಸತ್ಯವಾಗಿದ್ದು ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪುರಾವೆ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಸದರಿ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆ ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಗಳೆಯಲು ಸಾಕು.ಎಂಬುದೂ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ.ಆದರೆ ಸಾಧಿತ ತೀರ್ಮಾನ ಸತ್ಯವಾದದ್ದೇ ಆದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಯೂ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಷ್ಟೇ!
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n  ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ  1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2   ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ನೋಡೋಣ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸತ್ಯವಾದ ಕಾರಣ ಯಾವ ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಯೂ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ.ಇನ್ನೂ ಬಲವಾದ ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡುವುದಾದರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ (1601-1665)ನ ಹೇಳಿಕೆ ನೋಡೋಣ.  n ಎಂಬುದು 2 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ

xn +yn = zn  ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಲ್ಲದ ಯಾವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲೂ ಉತ್ತರ ದೊರಕುವುದಿಲ್ಲ.ಎಷ್ಟೇ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡಿದರೂ ಪ್ರತಿ ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆ ದೊರಕುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ(ನಮಗೆ ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ) ಈ ತೀರ್ಮಾನ ಸತ್ಯವಾದುದು.ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಪ್ರಯೋಗ ನಡೆಸಿ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನ ಸರಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲು ಸಫಲವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಹಾಗಾದರೆ ಈಗೇನು ಮಾಡುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರೋಪಾಯವಿದೆಯೇ? ಇಂಥ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಗಮನ ರುಜುವಾತು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಬಲವಾದ ನಿಗಮನ ರುಜುವಾತು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಗಣಿತಾತ್ಮಕ ಅನುಗಮನ..

.

ಗಣಿತಾತ್ಮಕ ಅನುಗಮನ ದಿಂದ ರುಜುವಾತು ಪಡಿಸುವುದು
 

ಬೇರೆ ವಿದ್ಯಾ ವಿಷಯಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಗಣಿತವು ತನ್ನ ರಚನೆ ಮತ್ತು  ಆಂತರಿಕ ಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.  ಅದು ಅಧ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸರ್ವಸಮ್ಮತ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ.ಇವು ಸ್ವಯಂ ಸಿದ್ಧ ಸತ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವನ್ನು ರುಜುವಾತು ಇಲ್ಲದೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ತತ್ವಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇವುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
 ಗಣಿತದ ಅನುಗಮನ ವಿಧಾನದಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ರುಜುವಾತು ಪಡಿಸುವುದು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂಲ ನಿದರ್ಶನ ಉದಾಹರಣೆಗೆ n=1 ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದೆಂದು ಸಾಧಿಸಿರಿ
 ಬೇಸ್ ಕೇಸ್ಗೆ  ಪ್ರಮೇಯವು n ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಜವಾದರೆ ಅದು n ನ ಮುಂದಿನ ಉನ್ನತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ ತೋರಿಸಿ. ಈ ಹಂತವುನಿರ್ಣಾಯಕ;ಇದು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n  ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು.
ಹಂತಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ:  ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಸಂಗವಾದ(say n = 1),ಗೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸತ್ಯವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ ಇದು, ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕರಣ (n = 2) ಕ್ಕೂಸತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕರಣ ( n = 3)ಗೂ ಸತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹೀಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ n ಗೆ ಇದು ಸತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಗಣಿತಾತ್ಮಕ ಅನುಗಮನವು, ಅದರ ಹೆಸರು ಹಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ನಿಗಮನದ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪ. ಇದು ಅನುಗಮನಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಅನಂತ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಅಪರೀಕ್ಷಿತ ಸಂದರ್ಭಗಳ ನಡುವೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಕಾರಣ ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ

ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸಲು ಅನುಗಮನ ವಿಧಾನವು  ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದು. ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆ ದೊರಕದ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆ ಸಿಗುವುದು ಬಲು ಅಪರೂಪ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2. ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ.ಇದು  n2 + (2n + 1) = (n + 1)2, ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸುಲಭವಾದ ಅನುಗಮನದ ಪುರಾವೆ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು 'ಪದಗಳಿಲ್ಲದ ಸೊಗಸಾದ ಪುರಾವೆ' ಎನ್ನಬಹುದು. ಸಂಕಲಿತ  ಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಉಲ್ಟಾ ಮಾಡಿ ರುಜುವಾತು ಪಡಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು summands ಎರಡು ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು'ಲಂಬವಾಗಿ'  ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಜೋಡಿಯ ಮೊತ್ತ 2n ಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತ n × 2n = 2n2 ×ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಮೊತ್ತ n2   ಆಗಿರುತ್ತದೆ.   ಗಮನಿಸಿ ಈ ಪುರಾವೆಯು ಅನುಗಮನ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ  ಬಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುಗಮನದ ಆಧಾರವುಳ್ಳ ಮತ್ತು ಅನುಗಮನ ಆಧರಿಸದ ಸಾಧನೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನೂ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು ಒಂದು ಬೋಧಪ್ರದ ಅಭ್ಯಾಸ ವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಪಸಂಹಾರ.
ಗಮನಿಸಲಾದ ಮಾಹಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಊಹೆ ಮಾಡುವುದೇ ಅನುಗಮನದ ಆಧಾರವುಳ್ಳ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿವೇಚನೆ. ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾಇಡೀ ಜೀವನದಲ್ಲಿ),ಅಂಥ ಊಹೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವಿಕೆಯ ವಿವಿಧ ಮಟ್ಟದ  ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳಾಗಿ ಉಳಿದಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ,  ಕೆಲವು ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಗಣಿತಾತ್ಮಕ ಅನುಗಮನ ವೆಂಬ ತಂತ್ರದಿಂದ ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬಹುದು . ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು 'ಅನುಗಮನ'ಎಂಬ ಪದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಿಸಬಾರದು'; ಬದಲಿಗೆ,ಇದು ಅನುಗಮನ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ  ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕು.

ಪರಾಮರ್ಶನ ಗ್ರಂಥಗಳು

i. Titu Andreescu and Razvan Gelca. Putnam and Beyond, Springer publications, 2007

ii. http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/math-ind.htm

iii. Shmuel Avital and Rodney T. Hansen, Mathematical induction in the classroom,1976

iv. http://tellerprimer.ucdavis.edu/pdf/2ch11.pdf

v. http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf

vi. http://www.richland.edu/james/lecture/m116/sequences/induction.html

 

ಮೂಲ ಲೇಖನ: ಅರುಣ್ ನಾಯಕ್.

ಶ್ರೀ ಅರುಣ್ ನಾಯಕ್ ಅವರು ಅಜೀಂ ಪ್ರೇಂಜಿವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ರಿಸೋರ್ಸ್ ಸೆಂಟರ್ ನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಬೋಧನ ಶಾಸ್ತ್ರ ತಂಡದ ಮುಖಂಡರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕ ಶಿಕ್ಷಕರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಮಾಡಿದ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಅನುಭವ ಅವರಿಗಿದೆ.

ಕನ್ನಡಾನುವಾದ: ಜೈಕುಮಾರ್ ಮರಿಯಪ್ಪ.


 

 

18051 ನೊಂದಾಯಿತ ಬಳಕೆದಾರರು
6931 ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು