क्षेत्रफल तथा परिमाप : भाग 6

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बुनियादी जानकारी

क्षेत्रफल व परिमाप आमतौर पर साथ में ही पढ़ाए जाते हैं और इन्‍हें एक ही विषय माना जाता है। हालाँकि, परिमाप एक रेखीय माप है जबकि क्षेत्रफल एक दि्वविमीय स्‍थान की माप है। आप ऐसे भी समझ सकते हैं कि परिमाप किसी आकृति के बाहर के चारों ओर की लम्‍बाई है जबकि क्षेत्रफल किसी आकृति के अन्‍दर के स्‍थान की मात्रा है।

चूँकि इन्‍हें साथ में पढ़ाया जाता है इसलिए आमतौर पर यह देखने में आता है कि बच्‍चे इन दोनों अवधारणाओं को आपस में मिला देते हैं। साथ ही इन मापों के निकालने के सूत्र भी अवधारणा को पूरी तरह समझने के काफी पहले ही पढ़ा दिए जाते हैं। इन दो अवधारणाओं को अलग-अलग पढ़ाकर आप इस समस्‍या से बच सकते हैं। पहले चरण में क्षेत्रफल की खोजबीन की जा सकती है क्‍योंकि यह बच्‍चे के रोजमर्रा के अनुभवों में अक्‍सर शामिल होता है। उदाहरण के लिए, “चॉकलेट का बड़ा हिस्‍सा किसे मिला?”   

यहाँ ऐसी कई गतिविधियाँ सुझाई हैं जो धीरे-धीरे उन्‍हें इस विषय को समझने में मार्गदर्शन करेंगी और इस अवधारणा की उनकी समझ को पुख्‍ता करेंगी। बहुत अच्‍छा होगा यदि बच्‍चे यह गतिविधियाँ चार-चार के समूह में करें ताकि उनके बीच पर्याप्‍त रूप से चर्चा हो सके।

 

अवधि : 
(दिन )
उद्देश्‍य : 

(गतिविधि 1 के लिए यहाँ , गतिविधि 2 के लिए यहॉं , गतिविधि 3 से 6 के लिए यहाँ , गतिवि‍धि 7 से 13 के लिए यहाँ  और गतिविधि 14 से 18 के लिए यहॉं क्लिक करें।)

गतिविधि चरण: 

 

गतिविधि 19


 

सामग्री : जियो बोर्ड, रबर बैण्‍ड्स

उद्देश्‍य : दिए गए विशिष्‍ट माप की अलग-अलग आकृतियाँ बनाना। 

बच्‍चों से इस तरह के कुछ सवाल पूछें जैसे कि नीचे दिए गए हैं :

  • क्‍या तुम नीचे दी आकृतियों को एक रबर बैण्‍ड से जियोबोर्ड पर बना सकते हो ?
  • 2 इकाई लम्‍बाई वाला एक वर्ग 
  • एक आयत जिसका क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई हो
  • एक पंचभुज जिसका क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई हो
  • वर्ग जिसका क्षेत्रफल 2 वर्ग इकाई हो

 

गतिविधि 20


 

सामग्री : वर्गाकार बिन्‍दुओं वाला कागज

उद्देश्‍य : लम्‍बाई या चौड़ाई बढ़ाने पर परिमाप व क्षेत्रफल में होनेवाले प्रभाव को समझना।  

बच्‍चों को एक आयत की लम्‍बाई व चौड़ाई की माप बताएँ और उनसे उसका क्षेत्रफल व परिमाप निकालने को कहें। अब उनसे पूछें :

  •  यदि आकृति की भुजा की लम्‍बाई एक इकाई बढ़ा दें तो उस आकृति के परिमाप पर क्‍या प्रभाव होता है?
  •  यदि आकृति की भुजा की चौड़ाई को दो इकाई घटा दिया जाए तो आकृति के परिमाप पर क्‍या प्रभाव होता है?
  •  भुजा की लम्‍बाई एक इकाई बढ़ा देने पर आकृति के क्षेत्रफल पर क्‍या प्रभाव होता है?
  •  भुजा की चौड़ाई दो इकाई घटा देने पर उस आकृति के क्षेत्रफल पर क्‍या प्रभाव होता है?

पैटर्न को देखने व उसका सामान्‍यीकरण करने के लिए आप लम्‍बाई व चौड़ाई दोनों को 1 इकाई, 2 इकाई, 3 इकाई आदि बढ़ा-घटाकर भी देख सकते हैं। इनमें कुछ स्थितियाँ ऐसी भी होनी चाहिए जिनमे लम्‍बाई बढ़ रही हो व चौड़ाई घट रही हो या इसका उलटा हो।


 

गतिविधि 21


 

सामग्री : टैनग्राम सेट

उद्देश्‍य : क्षेत्रफल के सन्‍दर्भ में अलग-अलग टुकड़ों के बीच के सम्‍बन्‍ध को समझना।

बच्‍चों को अलग-अलग आकृतियाँ बनाकर टैनग्राम के टुकड़ों से खेलने दें। आकृतियाँ बनाने की प्रक्रिया के दौरान वे विभिन्‍न आकृतियों की माप पर ध्‍यान देना शुरू करेंगे और यह देख पाएँगे कि क्षेत्रफल के सन्‍दर्भ में वे आपस में किस तरह सम्‍बन्धित हैं। उनसे कहें कि

  • आकृतियों का एक ऐसा जोड़ा ढूँढ़ो जिसका क्षेत्रफल एक समान हो।
  • क्‍या तुम ऐसे कुछ और जोड़े ढूँढ़ सकते हो?
  • क्‍या यह सभी जोड़े देखने में एक जैसे लगते हैं?
  • तुम यह कैसे दिखा सकते हो कि उनका क्षेत्रफल एक समान है?
  • क्‍या तुम कुछ ऐसे जोड़े ढूँढ़ सकते हो जिसमें एक आ‍कृति का क्षेत्रफल दूसरी आकृति के क्षेत्रफल का आधा हो? ऐसी कौन-सी आकृतियाँ हैं?
  • एक बड़े त्रिभुज से वर्ग के क्षेत्रफल की तुलना किस प्रकार करें?
  • एक छोटे त्रिभुज और मध्‍यम आकार के त्रिभुज की तुलना किस प्रकार करें?

टिप्‍पणी: इस गतिविधि को थोड़ा पहले भी करवा सकते हैं जब बच्‍चे अमानक इकाइयों के साथ खेल रहें हो।


 

गतिविधि 22


 

सामग्री : वर्गाकार जाली वाला कागज

उद्देश्‍य : वितरण नियम (distributive law) को समझना।

चित्र 15

वितरण नियम को दर्शाने के लिए वर्गाकार जाली वाला कागज इस्‍तेमाल करें जैसा कि चित्र 15 में दिखाया गया है।

बाईं ओर बने आयत का क्षेत्रफल कितना है? (3×4), यानी कि 12 वर्ग इकाई। 

दाईं ओर बने आयत का क्षेत्रफल कितना है? (3×3) यानी कि 9 वर्ग इकाई।

पूरे आयत का क्षेत्रफल कितना है? (3×7) यानी कि 21 वर्ग इकाई।

दर्शाएँ कि 3×4 + 3×3 == 3×(4+3)


 

गतिविधि 23


 

सामग्री : कागज के आयत

उद्देश्‍य : एक त्रिभुज और उसके समतुल्‍य आयत के बीच के सम्‍बन्‍ध को समझना।

बच्‍चों से कहें कि कुछ आयतों को बीच से तिरछा मोड़ लें और उस मोड़ से बनी लाइन पर से उन्‍हें काट लें।

एक भाग को दूसरे के ऊपर रखकर वे यह देख सकते हैं कि दोनों भागों की माप (क्षेत्रफल) एक समान है।

अपनी खोज को स्‍पष्‍ट रूप से व्‍यक्‍त करने में उनकी मदद करें कि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी लम्‍बाई व चौड़ाई के गुणनफल का आधा होता है।

ऐसा किसी भी त्रिभुज के लिए किया जा सकता है जैसे कि चित्र 15a में दिखाया गया है।


 

गतिविधि 24 


 

सामग्री : कागज के वर्ग

उद्देश्‍य : क्षेत्रफलों के बीच के सम्‍बन्‍धों पर ध्‍यान देना

बच्‍चों से कहें कि एक वर्गाकार कागज लें और कागज को मोड़कर दोनों भुजाओं का मध्‍यबिन्‍दु निकालें। निकटवर्ती मध्‍यबिन्‍दुओं को जोड़ती हुई रेखाएँ खीचें जैसा कि चित्र 16 में दिखाया गया है।

छोटे वर्ग और बड़े वर्ग में क्‍या सम्‍बन्‍ध है? क्‍या तुम दिखा सकते हो ऐसा क्‍यों है?

अब यही प्रक्रिया छोटे वर्ग के साथ भी दोहराएँ और उसके अन्‍दर एक और वर्ग बनाएँ।

इस नए बने छोटे वर्ग का सबसे बड़े वर्ग से क्‍या सम्‍बन्‍ध है? क्‍या तुम इसे दर्शा सकते हो?

एक बड़े वर्ग की भुजा की लम्‍बाई 20 सेंटीमीटर है। भुजाओं के मध्‍यबिन्‍दुओं को जोड़कर इसे तीन बार मोड़ा गया है और छोटा और उससे भी छोटा वर्ग बनाया गया है। चौथे वर्ग का क्षेत्रफल क्‍या होगा?


 

गतिविधि 25


 

सामग्री : वर्गाकार जाली वाला कागज

उद्देश्‍य : सभी सम्‍भावित वर्गों का पता लगाना और सबसे बड़े परिमाप वाली आकृति को ढूँढ़ना

जालीवाले कागज में 6×6 का एक वर्ग बनाएँ। इसमें 4 वर्ग इकाई क्षेत्रफल वाले कितने वर्ग ढूँढ़े जा सकते हैं?

चित्र 17 देखें।

यहाँ 5×5 के एक वर्ग के अन्‍दर बनाई जा सकने वाली कुछ आकृतियाँ दी गई हैं। सबसे बड़े परिमाप वाली आकृति को ढूँढ़ने के लिए कुछ और आकृतियाँ बनाएँ। 


 

गतिविधि 26


 

सामग्री : वर्गाकार बिन्‍दुओं वाला कागज

उद्देश्‍य : दिए गए माप के आधार पर आकृतियों का पुनर्निर्माण  

यह कक्षा में की जानेवाली गतिविधि है। बच्‍चों के हर समूह से वर्गाकार जाली वाले कागज पर कुछ आयत व वर्ग बनाने को कहें। प्रत्‍येक समूह बिना यह बताए कि उन्‍होंने कौन-सी आकृति बनाई है उन आकृतियों का क्षेत्रफल व परिमाप दूसरे समूह के साथ साझा करे।

‘मेरी आकृति का परिमाप 12 इकाई और क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।‘

‘मेरी आकृति का परिमाप 16 इकाई और क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।‘

‘मेरी आकृति का परिमाप 14 इकाई और क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।‘

प्रत्‍येक समूह को ऐसी आकृतियाँ बनाने की कोशिश करना है जो दूसरे समूह के माप से मेल खाती हों।

यही गतिविधि त्रिभुज बनाने के लिए भी की जा सकती है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई है।

शिक्षक और भी चुनौतीपूर्ण सवाल रख सकते हैं।

‘एक वर्ग की भुजा की लम्‍बाई ज्ञात करो जिसका क्षेत्रफल 8×2 के आयत के बराबर है।‘

‘एक तार के टुकड़े को इस्‍तेमाल कर 3 सेंटीमीटर भुजा का एक वर्ग बनाया गया है। यदि तार को सीधा करके और फिर मोड़कर समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाया जाए तो त्रिभुज की प्रत्‍येक भुजा की लम्‍बाई क्‍या होगी?’

‘एक तार के टुकड़े का इस्‍तेमाल कर 5 सेंटीमीटर और 3 सेंटीमीटर भुजाओं वाला एक आयत बनाया गया है। यदि तार को सीधा करके और फिर दुबारा मोड़कर एक वर्ग बनाया जाए तो वर्ग की भुजा की लम्‍बाई क्‍या होगी?’


 

पद्मप्रिया शिराली ऋषिवैली स्‍कूल, आन्‍ध्रप्रदेश के कम्‍युनिटी मैथमैटिक्‍स सेन्‍टर में 1983 से काम कर रही हैं। वे गणित,कम्‍प्‍यूटर, भूगोल,अर्थशास्‍त्र, पर्यावरण विज्ञान तथा तेलगु भाषा का अध्‍यापन करती रहीं हैं। आजकल वे आउटरीच कार्यक्रम के तहत एस.सी.ई.आर.टी., आन्‍ध्रप्रदेश के साथ उनके पाठ्यक्रम सुधार तथा प्राथमिक स्‍तर की गणित पाठ्यपुस्‍तकों के निमार्ण में संलग्‍न हैं। 1990 के दशक में उन्‍होंने जाने माने गणितज्ञ श्री पी.के. श्रीनिवासन के साथ काम किया है। वे ऋषिवैली स्‍कूल की मल्‍टीग्रेड लर्निंग प्रोग्राम टीम का हिस्‍सा भी रही हैं, जिसे ‘स्‍कूल इन ए बाक्‍स’ के नाम से जाना जाता है। उनसे padmapriya.shirali@gmail.com पर सम्‍पर्क किया जा सकता है।

यह अज़ीम प्रेमजी विश्‍वविद्यालय तथा कम्‍युनिटी मैथमैटिक्‍स सेन्‍टर,ऋषिवैली की संयुक्‍त पत्रिका At Right Angles (a resource for school mathematics) Volume 5 ,N0.2 July, 2016 में प्रकाशित Teaching Area and Perimeter के हिन्‍दी अनुवाद का छठवॉं एवं अन्तिम भाग है । अनुवाद : कविता तिवारी   सम्‍पादन: राजेश उत्‍साही

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